Lineární rezonance je považována za stabilní, když
|
∑ai = 0 |
(ve smyslu předchozího označení).
Mějme n-period Pi: {P0, P1,..., Pn} v soustavě P. Pro pozorovatele ze soustavy Q, jejíž perioda pohybu vzhledem k soustavě P je M, se tyto periody jeví jako (Pi,M), tj. {(P0,M), (P1,M)..., (Pn,M)}.
Synodické periody pozorované ze soustavy Q jsou stejné jako synodické periody pozorované uvnitř P:
((Pi,M), (Pj,M)) = (Pi, Pj).
(Totéž neplatí pro periody osové).
Pro libovolné konstanty a(i) je
∑ai/(Pi,M) = ∑ai/Pi – (∑ai)/M.
V případě stabilní rezonance ∑ai/M= 0 dostaneme:
|
∑ai/(Pi,M) = ∑ai/Pi |
tedy stabilní rezonance je nezávislá na
volbě vztažné soustavy.
Například periodu H rezonance 1/J-3/S+1/U+1/N = 1/H naměří také pozorovatel
pohybující se s libovolnou periodou M (vzhledem k hvězdám):
1/(J,M)-3/(S,M)+1/(U,M)+1/(N,M) = 1/H, protože 1/J-3/S+1/U+1/N je stabilní
(1-3+1+1=0).
Triviálním případem stabilní rezonance je synodická "rezonance" 1/P-1/Q=0, 1-1=0 (pro P=Q).
Příklady stabilních rezonancí
Ø
Děliteli
320-ti leté periody jsou (kromě Gleibergova 80-ti lého, Brucknerova 35-ti
letého cyklu,…), periody jednoduchých stabilních rezonancí J-S-U,
např. (J,-S/2,U)
(J,-S/3,U/2) (J/2,-S/3,U) tj. 1/J-2/S+1/U, 1/J-3/S+2/U, 2/J-3/S+1/U, ...
Ø Vztah 7/J-23/S+16/U = 0 je stabilní rezonance (rázy cca 28600 let) - souvisí take s 320-ti letou periodou
Ø Porovnejme konjunkce E-Ln-R s konjunkcemi E-R-S (Země-Mars-Saturn). Nastaly zároveň např. v letech: (přesnost 30°)
1813.55, 1830.63, 1847.74, 1864.84, 1881.92, 1898.99, 1916.05, 1933.12, 1950.21, 1967.28, 1984.38
K synchronizaci konjunkcí by muselo platit: 17/E-33/R+16/S=0 (rázy cca 415 let).
Ø Obdobně je např.: 5/V-16/R+11/S =0 (rázy 169.4 let), 17/V-28/E+11/S=0 (rázy 136.6 let)
Rezonance inverzního pohybu
Perioda H
Rozdíl (LS-LU) a
-(LS-LN) je d = LS-LU+LS-LN = 2∙LS-LU-LN = 2∙(J,S)/S
-(J,S)/U-(J,S)/N = (J,S)∙(2/S-1/U-1/N).
Odchylka od plného úhlu za čas (J,S): (1-d) = 1 - (J,S)∙(2/S-1/U-1/N).
Za 1 rok: h = (1-d)/(J,S) = 1/(J,S) - (2/S-1/U-1/N) = 1/J-1/S-2/S+1/U+1/N = 1/J-3/S+1/U+1/N.
Tedy
|
1/H = 1/J-3/S+1/U+1/N |
Ve stupních:
d∙360° = 19.859∙(2/29.457-1/84.020-1/164.770)∙360° = 0.991433 ∙ 360° = 356.916°
(1-d)∙360° = -3.084° (= 157.601° - 160.685°)
h∙360° = -3.084° /19.859 let = 0.1553°/rok; h = 0.1553/360 = 0.00043139 plných úhlů / rok.
Perioda H:
H = 1/h = 1/0.00043139 = 2318.1 let.
Konjunkce
Představme si fiktivní svět, v němž vlastní pohyb těles není vidět a kde je možné vnímat jen okamžiky konjunkcí a měřit synodické periody. Např. můžeme slyšet klapnutí (AB) při konjunkci dvou těles (A a B); při konjunkci tří těles (A,B,C) tři klapnutí (AB, AC, a BC). (Podobně jako vnímali svět astronomové v minulosti...)
Tento náš svět, je určován jen vzájemnými vztahy mezi periodami a nemá žádný přímý odraz v pohybu okolo centra.
Kdybychom mohli vztahy chápat jako diference, dostali bychom jakousi "derivaci" skutečného světa. V analogii můžeme dokonce pokračovat dále: např. perioda ((A,B),(C,D)) je odvozena již ze synodických period, je tedy druhého řádu. (Příslušný svět je "druhou derivací" našeho původního světa...).
Jednoduché poměry
Pohyb pozorovatele ve fiktivním světě synodických period nemoduluje vlastní orbitální periody, ale periody synodické.
Nechť H je perioda stabilní rezonance, 1/H=1/J-3/S+1/U+1/N (cca 2320 let). Pozorovatel pohybující se s touto periodou ve synodickém světě (druhého řádu) naměří následující hodnoty pro ((J,S),(S,N)),((J,S),(U,N)) a ((J,U),(U,N)):
1/((J,S),(S,N))-1/H = 1/J-2/S+1/N-1/H = 1/S-1/U = 1/(S,U)
1/((J,S),(U,N))-1/H = 1/J-1/S-1/U+1/N-1/H = 2/S-2/U = 2/(S,U)
1/((J,U),(U,N))-1/H = 1/J-2/U+1/N-1/H = 3/S-3/U = 3/(S,U)
Tedy pro tohoto pozorovatele platí:
|
1/((J,U),(U,N)) : 1/((J,S),(U,N)) : 1/((J,S),(S,N)) = 1 : 2 : 3 |
Koordinace
Rezonanční poměr orbitálních period Uranu a
Neptuna je 1:2 (N/U =1.961); perioda nerovnosti I = (U, N/2), přibližně 4200
let.
Pozorovatel pohybující se s periodou I naměří periody vnějších planet
J',S',U',N':
1/J' = 1/J-2/N+1/U = 11.8953 let
1/S' = 1/S-2/N+1/U = 29.6636 let
1/U' = 1/U-2/N+1/U = 2/U-2/N = 85.722 let
1/N' = 1/N-2/N+1/U = 1/U-1/N = 171.444 let
Pro tohoto pozorovatele bude N':U' přesně
2/1. Poměr S'/J' je přibližně 5:2 a U'/S' přibližně 3:1.
Perioda nerovnosti J-S: (S'/5,J'/2) = 2362 let a perioda nerovnosti S-U:
(U'/3,S'/1)= 778 let.
Hodnota periody H (1/H = 1/J-3/S+1/U+1/N) zůstává stejná: H = 2320 let.
Siderické periody vnějších planet splňují rovnici:
|
3/J-8/S-2/U+7/N = 0 |
Náš pozorovatel proto zjistí:
5/S'-2/J'=1/H
(=5/S-2/J+3/U-6/N=1/J-3/S+1/U+1/N)
3/U'-1/S'=3/H (=5/U-4/N-1/S
=3/J-9/S+3/U+3/N)
Platí:
1/H = 1/J- 3/S+1/U+1/N
3/H = -1/S+5/U-4/N
5/H = -1/J+1/S+9/U-9/N
7/H = 4/J-13/S+9/U
Průběh rezonance
Hodnota L = 3LJ-8LS)-(2LU-7LN),
kde LJ,LS,LU,LN jsou délky (longitudy) planet
ve vybraných okamžicích osciluje okolo 120˚:
|
LH = 3LJ -8LS+2LU
-7LN ~ 120˚ |
V konjunkcích J-S je (3LJ-8LS)/5
= LJ = LS, v konjunkcích U-N je (2LU-7LN)/5
= LU = LN.
V opozicích J-U:.
|
Rok |
3 LJ [˚] |
8 LS [˚] |
2 LU [˚] |
7 LN [˚] |
(3LJ-8LS)-(2LU-7LN) [˚] |
|
1810,46
|
124 |
230 |
83 |
309 |
254 – 134 = 120 |
|
1824,28
|
322 |
139 |
215 |
157 |
183 -
58 = 125 |
|
1838,09
|
141 |
51 |
334 |
7
|
90 – 327 = 123 |
|
1851,90
|
300 |
320 |
80 |
219 |
340 – 221 = 119 |
|
1865,70
|
98 |
229 |
185 |
73
|
229 – 113 = 116 |
|
1879,52
|
272 |
142 |
302 |
287 |
131 -
15 = 116 |
|
1893,33
|
108 |
49 |
72 |
142
|
58 – 290 = 128 |
|
1907,15
|
306 |
325 |
204 |
356 |
341 – 208 = 133 |
|
1920,97
|
127 |
230 |
325 |
208 |
257 – 116 = 141 |
|
1934,77
|
287 |
146 |
72 |
59
|
142 -
13 = 129 |
|
1948,58
|
84 |
49
|
176 |
268
|
35 – 269 = 127 |
|
1962,39
|
257 |
326 |
291 |
115 |
291 – 176 = 115 |
|
1976,21
|
91 |
230 |
61 |
323
|
221 -
97 = 123 |
|
1990,02
|
290 |
148 |
193 |
172 |
142 -
21 = 121 |
|
2003,84
|
113 |
52 |
315 |
22
|
61 – 293 = 128 |
|
2017,65
|
275 |
328 |
63 |
234 |
307 – 189 = 118 |
|
2031,45
|
71 |
233 |
167 |
88
|
198 -
80 = 118 |
|
2045,26
|
242 |
146 |
281 |
302 |
95 – 339 = 116 |
|
2059,08
|
74 |
55
|
50
|
157
|
19 – 253 = 126 |
|
2072,90
|
274 |
326 |
183 |
11 |
307 – 172 = 136 |
|
2086,71
|
98 |
238 |
306 |
223 |
220 -
83 = 138 |
Vnitřní planety
Pokusme se vyhledat nějakou periodu h, která by mohla mít pro vnitřní planety obdobný význam jako perioda H pro planety vnější.
Nechť h je např. perioda stabilní rezonance, 1/h = 1/M-4/V+2/E+1/R (cca 5.504 let). Pozorovatel pohybující se s touto periodou (ve světě synodických period 2, řádu) naměří následující hodnoty pro ((M,V),(V,R)),((M,V),(E,R)) a ((M,E),(E,R)):
1/((M,V),(V,R))-1/h = 1/M-2/V+1/R-1/h = 2/V-2/E = 2/(V,E)
1/((M,V),(E,R))-1/h = 1/M-1/V-1/E+1/R-1/h = 3/V-3/E = 3/(V,E)
1/((M,E),(E,R))-1/h = 1/M-2/E+1/R-1/h = 4/V-4/E = 4/(V,E)
Tedy pro tohoto pozorovatele platí:
|
1/((M,V),(V,R)) : 1/((M,V),(E,R)) : 1/((M,E),(E,R)) = 2 : 3 : 4 |